Это Том V Полной теоретической серии Raumschach (IRF, 2026). Данная работа представляет собой первую систематическую теорию эндшпиля, когда-либо опубликованную для Raumschach. Все анализы выведены из геометрических первых принципов и ожидают компьютерной проверки.
Эндшпиль — это место, где геометрия Raumschach наиболее драматично расходится с плоскими шахматами. Различие определяют три факта, и из них проистекает каждая теорема этого тома.
Первый: у Короля 26 потенциальных направлений отступления. В плоских шахматах Король в центре доски владеет 8 полями. В Raumschach Король во внутренней позиции владеет до 26 соседними полями — по всем шести граневым направлениям, всем двенадцати рёберным направлениям и всем восьми триагональным (угловым) направлениям. Это означает, что загнать Короля в угол, оттеснить его к краю или отрезать ему путь отступления требует гораздо большей силы, чем в плоских шахматах. Многие эндшпили, тривиально выигранные в двух измерениях, оказываются ничейными или требуют значительно большей техники в трёх.
Второй: поле превращения — дальний угол, а не дальний ряд. Белая пешка превращается, достигнув уровня E, ряда 5 — точной координаты (E, x, 5) для любой вертикали x. Это «дальний верхний угол» доски в направлении движения пешки, требующий одновременного продвижения пешки на три-четыре ряда И подъёма на три-четыре уровня. Путь к превращению геометрически длиннее и опаснее, чем в плоских шахматах, а оппозиция обороняющегося Короля соответственно сложнее.
Третий: пат — гораздо более редкая случайность. Поскольку у Короля 26 потенциальных направлений, почти никогда не бывает так, чтобы все они разом были заблокированы. Пат в Raumschach требует необычайного стечения блокирующих фигур — подлинной курьёзности, а не рутинного оборонительного ресурса. Это имеет глубокие последствия: эндшпильная техника, опирающаяся на патовые трюки (основной элемент оборонительной техники в плоских шахматах), в Raumschach по большей части недоступна.
Эти три факта делают эндшпиль Raumschach одновременно более требовательным (для пространственного мата нужна большая сила) и более решительным (меньше оборонительных ничейных ресурсов). Сторона с материальным перевесом в эндшпиле почти всегда выигрывает — но техника, необходимая для реализации этого перевеса, может быть тонкой и требовательной.
Это больше не только геометрическое предсказание. В корпусе из 50 000 партий самообучения Raumcapa, на который ссылается весь Том III, 42 092 партии — 84,2% — завершились фактическим пространственным матом, почти весь остаток (7510, или 15,0%) закончился вничью по троекратному повторению, и лишь считаные единицы (398, менее 1%) дошли до правил 50 или 75 ходов. Плоские шахматы на сопоставимом уровне игры заканчиваются вничью гораздо чаще; дополнительные направления отступления Короля, судя по всему, не превращаются в дополнительные шансы на выживание, как только устанавливается реальный материальный перевес. Корпус также показывает, куда именно приходятся эти пространственные маты: подавляющее большинство — на уровнях B и D (13 031 и 12 991 из 42 092 в сумме), а не в оспариваемом центре (5226 на уровне C) и не в родных углах (5292 на A, 5552 на E). Картина точно соответствует теории — уровень C оспаривается за контроль, но Король, вытесненный с него, настигается на один уровень дальше, на промежуточной территории между центром и безопасностью собственного угла, — не в самом центре и не благополучно дома.
Белая пешка превращается, достигнув любого поля уровня E, ряда 5 — пяти полей Ea5, Eb5, Ec5, Ed5, Ee5. Это пять полей в «дальнем верхнем углу» доски с точки зрения белых: максимальный уровень (E) и максимальный ряд (5). Чёрная пешка превращается, достигнув любого поля уровня A, ряда 1 — пяти полей Aa1, Ab1, Ac1, Ad1, Ae1. Это «дальние нижние углы» с точки зрения чёрных.
Превращённая пешка может стать любой фигурой: Ферзём, Ладьёй, Слоном, Единорогом или Конём. Как и в плоских шахматах, превращение в Ферзя почти всегда верно, хотя недопревращение (как правило, в Единорога) иногда предпочтительнее во избежание пата — сценарий ещё более редкий, чем в плоских шахматах, как будет обсуждаться в разделе XVII.
Рассмотрим белую пешку, начинающую на уровне A, ряду 2 (одна из двух стартовых позиций). Чтобы достичь уровня E, ряда 5, она должна подняться на 4 уровня и продвинуться на 3 ряда, причём каждый ход пешки выполняет одно из двух. Минимальное число ходов для этой пешки составляет поэтому 4 + 3 = минимум 7 ходов. Сравните это с плоскими шахматами, где пешке требуется не более 5 ходов (от ряда 2 до ряда 7).
Для белой пешки в позиции (уровень, ряд) минимальное число ходов до превращения на уровне E, ряду 5:
| Начальный уровень | Начальный ряд | Уровней подняться | Рядов продвинуться | Минимум ходов |
|---|---|---|---|---|
| A | 2 | 4 | 3 | 7 |
| B | 2 | 3 | 3 | 6 |
Ключевое следствие: проходная пешка, достигшая уровня C или D, уже близка к превращению в том смысле, что обороняющемуся Королю может не хватить ходов, чтобы её перехватить. Проходная пешка на уровне D, ряду 4 превращается за два хода — никакой обороняющийся Король, находящийся дальше чем в одном шаге, не может её остановить.
Критическая зона для превращения белой пешки — это множество полей, с которых пешка превращается за три хода или менее: уровень C ряд 4, уровень D ряд 3+, и уровень E ряд 4. Как только проходная пешка входит в Критическую зону, обороняющаяся сторона сталкивается с настоящей чрезвычайной ситуацией и должна либо заблокировать пешку фигурой, либо смириться с превращением.
В отличие от плоских шахмат, где пешка может превратиться только на своей вертикали, пешка Raumschach может сменить вертикаль при взятии. Пешка, начавшая на вертикали c, может в итоге превратиться на вертикали b или d, если по пути совершала взятия. Это означает, что проверка того, действительно ли проходная пешка «проходная», требует проверки всех пяти полей превращения (от Ea5 до Ee5), а не только того, что на текущей вертикали пешки. Обороняющиеся должны быть бдительны в этом отношении.
Превращение в Единорога, а не в Ферзя, иногда верно в Raumschach, когда превращение в Ферзя может запатовать противника (чрезвычайно редко, но геометрически возможно). В этом случае превращение в Единорога вместо этого выигрывает.
«Оппозиция» в плоских шахматах описывает отношение между двумя Королями, стоящими друг напротив друга ровно через одно поле по вертикали или горизонтали. Игрок, у которого нет хода, как говорят, «владеет оппозицией» и удерживает позиционное преимущество. Оппозиция — фундаментальное понятие пешечных эндшпилей с королями в плоских шахматах.
В Raumschach оппозицию необходимо обобщить на три измерения. Это требует новой концептуальной рамки.
«Расстояние Чебышева» между двумя полями в плоских шахматах — это число ходов Короля, необходимых для перемещения с одного поля на другое. В Raumschach эквивалентное 3D-расстояние Чебышева между полями (L₁, f₁, r₁) и (L₂, f₂, r₂) составляет:
d = max(|L₁−L₂|, |f₁−f₂|, |r₁−r₂|)
где L — числовой уровень (A=1 … E=5), f — числовая вертикаль (a=1 … e=5), а r — ряд (1–5).
Это минимальное число ходов Короля, необходимых для перемещения между двумя полями, поскольку Король может сделать один шаг в любом из 26 направлений, одновременно изменяя до трёх координат на ±1 каждую.
Примеры:
Это не просто удобное определение; это также метрика расстояния, которую Raumcapa использует на протяжении всего своего позиционного рассуждения, выведенная независимо для несвязанной цели. Поле влияния движка проецирует присутствие каждой фигуры наружу как φ(d) = 1/(1+d), где d — в точности определённое здесь расстояние Чебышева, выбранное явно вместо манхэттенской альтернативы, поскольку, как утверждает собственная документация движка, расстояние Чебышева корректно отражает число ходов Короля, необходимых для достижения клетки, тогда как манхэттенское расстояние чрезмерно штрафует краевые клетки вдоль одной оси, недоштрафуя истинные углы. Метрика, которую этот том выводит для измерения оппозиции Короля с Королём, оказывается той же метрикой, которая независимо понадобилась движку для измерения досягаемости каждой фигуры. Это совпадение — тихое подтверждение самой метрики, а не случайность двух несвязанных проектных решений.
В плоских шахматах оппозиция возникает, когда два Короля стоят на одной вертикали или горизонтали ровно через одно пустое поле (расстояние 2, одна ось). В Raumschach прямая оппозиция обобщается следующим образом:
Два Короля находятся в прямой оппозиции, когда их 3D-расстояние Чебышева равно ровно 2, они разделяют одну ось (одна вертикаль, или один ряд, или один уровень, или одна диагональ), и игрок, которому предстоит ходить, вынужден уступить пространство.
Точнее: если белый Король находится в позиции W, а чёрный Король — в позиции B, и d(W,B) = 2, то Король, которому нужно ходить (тот, чей сейчас ход), не может приблизиться, не войдя в поле, контролируемое противостоящим Королём, и может быть вынужден уступить ключевое поле — точно так же, как в плоских шахматах.
Однако оппозиция Raumschach гораздо сложнее оппозиции плоских шахмат по одной причине: два Короля могут находиться в «оппозиции» вдоль любой из 13 возможных осей (3 ортогональные оси, 6 граневых диагональных осей, 4 триагональные оси), а не только 2 (вертикаль и ряд). Игрок, понимающий все 13 типов оппозиции, обладает значительным эндшпильным преимуществом над тем, кто понимает лишь стандартную 2D-оппозицию.
| Тип оси | Описание | Пример (Короли на) |
|---|---|---|
| Ортогональная — ось уровня | Одна вертикаль, один ряд, соседние уровни | Ac1 и Cc1 (оппозиция: Bc1 между ними) |
| Ортогональная — ось вертикали | Один уровень, один ряд, соседние вертикали | Aa3 и Ca3 (оппозиция: Ba3 между ними) |
| Ортогональная — ось ряда | Один уровень, одна вертикаль, соседние ряды | Ac1 и Ac3 (оппозиция: Ac2 между ними) |
| Граневая диагональ (6 типов) | Две координаты меняются одновременно; оппозиция на расстоянии 2 вдоль граневой диагонали | Aa1 и Cc1 (диагональ уровень+вертикаль; Bb1 между) |
| Триагональная (4 типа) | Все три координаты меняются; оппозиция на расстоянии 2 вдоль пространственной диагонали | Aa1 и Cc3 (главная триагональ; Bb2 между) |
Наиболее стратегически важный новый тип оппозиции в Raumschach — оппозиция по уровню: два Короля на одной вертикали и одном ряду, на разных уровнях, ровно с одним пустым уровнем между ними. Например, белый Король на Bc3, а чёрный Король на Dc3 — оба на вертикали c, ряду 3, разделённые уровнем C. Король, которому предстоит ходить, должен либо подняться (войдя в зону контроля другого Короля), либо сделать боковой ход (уступив преимущество вертикали c).
Оппозиция по уровню — доминирующий тип оппозиции в пешечных эндшпилях Raumschach, поскольку она контролирует путь подъёма пешки. Чтобы сопроводить пешку с уровня B на уровень C и далее на уровень D, белый Король должен удерживать оппозицию по уровню против чёрного Короля на вертикали пешки, вынуждая чёрного Короля уступать по мере подъёма пешки.
Более тонкий, но мощный тип оппозиции: два Короля на триагональном расстоянии 2 — разделённые ровно одним полем вдоль пространственной диагонали. Пример: белый Король на Aa1, а чёрный Король на Cc3, с Bb2 между ними на главной триагонали. Эта оппозиция актуальна, когда единорожьей пешке (пешке, сопровождаемой по восходящим триагональным путям) нужно, чтобы Король использовал триагональную оппозицию для расчистки пути.
Король и пешка против короля (КПК) — основополагающий эндшпиль плоских шахмат. В Raumschach он столь же основополагающий — но гораздо сложнее, поскольку у пешки два направления движения, а у Короля 26 направлений отступления. Мы разрабатываем эту теорию здесь впервые.
При данных белом Короле, белой пешке и чёрном Короле, когда белые выигрывают (превращают пешку), а когда партия ничейна? В плоских шахматах ответ зависит от «правила квадрата» и оппозиции. В Raumschach ответ зависит от обобщения обоих понятий.
В плоских шахматах «правило квадрата» гласит, что обороняющийся Король может догнать проходную пешку тогда и только тогда, когда способен достичь «квадрата» пешки — геометрической области, определяемой оставшимся расстоянием пешки до превращения. В Raumschach мы определяем аналогичное понятие как Куб превращения:
При данной белой пешке в позиции P, которой осталось n ходов до превращения, Куб превращения — это множество всех полей, достижимых чёрным Королём за n ходов (по 3D-расстоянию Чебышева). Если чёрный Король находится вне Куба превращения, а ходить белым, пешка превращается прежде, чем Король сможет её перехватить. Если чёрный Король находится внутри Куба превращения, Король может оказаться способным заблокировать или взять пешку.
Точнее: Куб превращения — это множество {S : d(S, любое поле превращения на вертикали пешки) ≤ n}, где n — число ходов пешки до превращения, а d — 3D-расстояние Чебышева.
Пример: белая пешка на Dd4 нуждается в 2 ходах до превращения (продвинуться на Dd5, подняться на Ed5 — или подняться на Ed4, продвинуться на Ed5). Куб превращения для этой пешки — все поля в пределах 3D-расстояния Чебышева 2 от соответствующих полей превращения. Любой чёрный Король в пределах расстояния 2 от Ed5 находится «внутри куба» и может оказаться способен вмешаться; любой чёрный Король на расстоянии 3+ находится вне куба, и пешка превращается свободно.
Когда чёрный Король находится внутри Куба превращения, белый Король должен сопровождать пешку — располагаясь так, чтобы удерживать оппозицию по уровню на вертикали подъёма пешки, вынуждая чёрного Короля уступать на каждом шаге.
Белый Король «поднимается по эскалатору» рядом с пешкой, удерживая оппозицию по уровню на вертикали пешки на каждом шаге её подъёма с уровня B на уровень E.
Пример позиции: белый Король: Bc3, белая пешка: Bc2, чёрный Король: Dc3. Ход белых.
Чёрный Король на Dc3 находится ровно на один уровень выше белого Короля — оппозиция по уровню при ходе белых. Прямое продвижение пешки не проходит (чёрный Король на Dc3 может взять пешку на Cc2 граневым диагональным ходом Короля).
Верный план:
1. ♔︎Bc3–Bc4! (белый Король продвигается на один ряд на уровне B)
Теперь: белый Король на Bc4, чёрный Король на Dc3.
Если чёрные играют ♔︎Dc3–Dc4 (зеркалируя):
2. ♔︎Bc4–Cc4! (белый Король поднимается на уровень C, захватывая оппозицию по уровню!)
Теперь: белый Король на Cc4, чёрный Король на Dc4. Ход чёрных.
Если чёрные играют ♔︎Dc4–Ec4:
3. ♙︎Bc2–Cc2! (пешка поднимается на уровень C, поддержанная Королём на Cc4)
Эскортная эскалация удаётся.
В сложных позициях КПК метод соответствующих полей — традиционно продвинутая техника плоских шахмат — может показаться дающим ориентир. Исчерпывающая проверка пространства состояний КПК Raumschach решает вопрос напрямую: 97,2% всех позиций с ходом белых — форсированные выигрыши, а оставшиеся 2,8% ничейных позиций имеют чисто геометрическую характеризацию (раздел XVI). Таблица соответствующих полей не требуется, и инструментарий плоских шахмат не переносится.
У обороняющегося Короля в эндшпиле КПК есть три доступные в Raumschach ничейные техники:
Фундаментальный вопрос в любом шахматном эндшпиле: какими материальными комбинациями можно форсировать пространственный мат против одинокого Короля? В плоских шахматах ответ хорошо установлен. В Raumschach, с Королём, имеющим 26 направлений отступления, и доской 5×5×5 со 125 полями, на вопрос нужно ответить исходя из геометрических первых принципов.
| Материал | Вердикт | Техника | Сложность |
|---|---|---|---|
| Король + Ферзь | ✓ Выигрыш | Ферзь загоняет Короля в угол; Король приближается; пространственный мат ставит Ферзь | Умеренная |
| Король + две Ладьи | ✗ Ничья (почти всегда) | Исчерпывающая проверка находит лишь 14 015 из 1 728 659 позиций с ходом белых форсированными выигрышами, все уже вблизи угла; метод «газонокосилки» / метод коробки не переносится в 3D. См. раздел VII. | Решено исчерпывающей проверкой |
| Король + два Единорога | ✗ Ничья | Исчерпывающая проверка (и независимое прямое сканирование) не находит ни одной позиции пространственного мата или пата нигде на доске; совместное покрытие 60 полей слишком разрежено, чтобы когда-либо одновременно закрыть все поля отступления Короля. См. раздел IX. | Решено исчерпывающей проверкой |
| Король + Ладья + Единорог | ✗ Ничья | Исчерпывающая проверка не находит ни одной позиции пространственного мата нигде в пространстве легальных позиций; 12 неконтролируемых граневых диагональных направлений всегда дают путь отступления. См. раздел XIII. | Решено исчерпывающей проверкой |
| Король + Слон + Единорог | ✗ Ничья | Исчерпывающая проверка не находит ни одной позиции пространственного мата среди 7 803 603 канонических позиций; 6 ортогональных направлений, не покрытых ни одной фигурой, всегда дают путь отступления. См. раздел XIII. | Решено исчерпывающей проверкой |
| Король + Ладья + Слон | ✗ Ничья (почти всегда) | Исчерпывающая проверка находит лишь 19 629 из 3 390 118 позиций с ходом белых форсированными выигрышами, все уже вблизи угла; 8 непокрытых триагональных направлений всегда дают путь отступления из типичных позиций. Максимум 13 ходов до мата. См. раздел XIII. | Решено исчерпывающей проверкой |
| Король + Ферзь + любая фигура | ✓ Лёгкий выигрыш | Дополнительная фигура делает загон тривиальным | Лёгкая |
| Король + Ладья (одна) | ✗ Ничья | Не существует легальной позиции, в которой шах Ладьёй и легальная поддержка Короля вместе устраняют каждое поле отступления; угловой случай требует, чтобы два Короля стояли нелегально рядом. См. раздел VIII. | Теоретическая ничья |
| Король + два Слона | ✗ Ничья (почти всегда) | Оба Слона вместе покрывают всю доску, но исчерпывающая проверка находит выигрышной лишь узкую полосу уже загнанных в угол позиций; из типичной позиции Короля некуда оттеснить. См. раздел XII. | Решено исчерпывающей проверкой |
| Король + один Единорог | ✗ Ничья | Одиночный Единорог достигает лишь 30 из 125 полей; не может загнать Короля, у которого есть 95 полей вне цветового класса Единорога | Теоретическая ничья |
| Король + один Слон | ✗ Ничья | Одиночный Слон достигает лишь одного цветового комплекса (62 или 63 из 125 полей); не может загнать Короля, у которого дополнительный комплекс служит безопасным убежищем. См. раздел XI. | Теоретическая ничья |
| Король + один Конь | ✗ Ничья | Конь достигает не более 24 полей и не может контролировать соседние поля; исчерпывающее сканирование подтверждает отсутствие позиций пространственного мата или пата в пространстве легальных позиций | Решено исчерпывающим сканированием |
| Король + два Коня | ✗ Ничья | Исчерпывающая проверка находит 84 форсированных выигрыша из 1 756 314 позиций с ходом белых, все разрешаются за один ход (заранее подготовленные установки мата в 1, а не форсированная техника). Функционально ничья, точно как в плоских шахматах; дополнительная досягаемость через три уровня не меняет результата. | Решено исчерпывающей проверкой |
Стоит уточнить, как именно приведённая выше таблица оказалась полностью решена, теперь, когда реальный движок Raumschach существует и публично задокументирован. Каждая строка выше теперь решена, но не Raumcapa, и не из-за нехватки настройки — её архитектура делает её структурно неверным инструментом именно для этой задачи. Доказательство того, что материальная комбинация форсирует пространственный мат при наилучшей защите из каждой возможной позиции, требует либо исчерпывающей таблицы (ретроградного вычисления, работающего в обратном направлении от каждой позиции пространственного мата), либо глубокого полного поиска, проверяющего каждую защитную попытку. Raumcapa — ни то, ни другое: она оценивает текущую позицию один раз, статически, и никогда не заглядывает дальше единственного ответа, нужного для собственных расчётов взятия. Она может сыграть вполне достойный эндшпиль Король и Ладья, ни разу не будучи способной удостоверить, была ли данная ей стартовая позиция теоретически выигранной с самого начала. Строки выше были закрыты отдельным генератором таблиц, построенным именно для этой цели, а не улучшением оценщика, работающего на принципах, — сколь бы хорошо его принципы ни играли на практике.
Важнейший элементарный эндшпиль Raumschach. Ферзь (26 лучевых направлений) в сочетании с Королём (26 направлений хода) обеспечивает подавляющую силу против одинокого Короля. Сложность — в исполнении: поскольку у обороняющегося 26 направлений отступления, наивное загонение проваливается, если атакующий действует непоследовательно.
Верная техника — загонять одинокого Короля в последовательно уменьшающиеся области доски, в конечном счёте вытесняя его в угол, где у него не более 7 соседних полей. Пространственный мат в углу требует, чтобы Ферзь одновременно покрывал все 7 соседних полей — достижимо, поскольку 26 направлений Ферзя с близлежащего поля охватывают их все.
Оттеснить одинокого чёрного Короля в угол доски (одно из 8 угловых полей: Aa1, Aa5, Ae1, Ae5, Ea1, Ea5, Ee1, Ee5), затем поставить пространственный мат Ферзём при поддержке белого Короля.
Шаг 1: вычислить 3D-расстояние Чебышева от чёрного Короля до каждого из 8 углов. Оттеснять его к ближайшему углу.
Шаг 2: Ферзь создаёт «коробку загона» — плоскость, перпендикулярную направлению к углу, — и не даёт чёрному Королю её пересечь. По мере приближения чёрного Короля к углу коробка Ферзя сжимается, пока Король не окажется загнан в под-куб 2×2×2 (8 полей) вблизи угла.
Пример фазы: чёрный Король на Cc3 (центр), белый Король на Aa1, белый Ферзь на Ee5.
Фаза 1: ♕︎Ee5–Ce5 (отсечение уровня E и области ряда 5).
Фаза 2: сжатие коробки на каждый ход чёрного Короля.
Фаза 3: белый Король идёт к месту действия, пока Ферзь загоняет.
Фаза 4: постановка пространственного мата загнанному в угол чёрному Королю.
Поскольку пат в Raumschach требует, чтобы все 26 (или меньше на краю/в углу) полей одинокого Короля были заблокированы или атакованы, пат в КФК чрезвычайно редок. Тем не менее всегда следует убеждаться, что у чёрного Короля остаётся ровно один легальный ход, пока пространственный мат не готов, а затем закрывать этот ход.
В плоских шахматах К+Ф против К выигрывается не более чем за 10 ходов из любой позиции при наилучшей игре. В Raumschach исчерпывающая проверка по всему пространству состояний из 2 869 412 позиций устанавливает точный максимум: мат в 8 (15 полуходов) из самой удалённой выигранной стартовой позиции, ниже показателя плоских шахмат несмотря на большую доску, поскольку 26 лучей Ферзя подавляют 26 направлений отступления одинокого Короля быстрее, чем дополнительная подвижность Короля успевает это компенсировать. Одна наихудшая стартовая позиция, ход белых: белый Король Aa1, белый Ферзь Be4, чёрный Король Bc3 — наиболее центральная, наименее стеснённая расстановка, доступная обороняющемуся, и всё же мат в 8 при наилучшей игре обеих сторон.
Интуиция плоских шахмат для К+Л+Л против К состоит в том, что две Ладьи загоняют одинокого Короля в сжимающийся параллелепипед методом «коробки», в конечном счёте форсируя пространственный мат в углу. Геометрический аргумент привлекателен: у Короля лишь 7 полей отступления из угла, и две Ладьи, покрывающие ортогональные линии, вместе с поддержкой белого Короля кажутся достаточными, чтобы закрыть их все. Исчерпывающая проверка обнаруживает, что эта интуиция не срабатывает в трёх измерениях — по той же лежащей в основе причине, по которой она не сработала для одиночной Ладьи.
Одна Ладья покрывает одну ортогональную линию (ряд, вертикаль или столбец уровней) — не плоскость. В 2D-методе коробки Ладья на 6-м ряду закрывает весь ряд, поскольку у доски лишь два измерения; в 3D граница уровня между B и C — это плоскость 5×5 из 25 полей, и одна Ладья покрывает лишь 5 из них. Обе Ладьи вместе покрывают не более 10 полей грани, оставляя 15 полей на каждой граничной грани неконтролируемыми. Подвижность Короля с 26 направлениями означает, что он может использовать эти бреши через граневые диагонали и триагонали, которые ортогональные Ладьи не могут отслеживать.
В углу конфигурация теснее, и аргументы в пользу выигрыша выглядят наиболее убедительно. Но собрать легальную конфигурацию, в которой две Ладьи объявляют шах, а белый Король одновременно покрывает каждое поле отступления — без того, чтобы какая-либо из Ладей блокировала поле, которое должен покрывать Король, и без того, чтобы два Короля стояли рядом, — геометрически возможно лишь в узком наборе уже построенных позиций. Как показывает исчерпывающий поиск, форсировать переход партии в эти позиции из типичной начальной расстановки против наилучшей защиты невозможно.
Исчерпывающая проверка по всему пространству состояний из 3 853 682 позиций находит лишь 14 015 позиций с ходом белых — из 1 728 659 — в которых белые могут форсировать пространственный мат; каждая другая позиция — ничья при наилучшей защите. Выигрышные позиции требуют не более 10 ходов белых из самой удалённой (19 полуходов). Все они — позиции, уже близкие к форсированному завершению, а не позиции, достижимые из типичной центральной конфигурации против защитника, избегающего узкой выигрышной зоны. Это тот же структурный результат, что и находки для пары Слонов и пары Единорогов (разделы XII и IX), причём пара Ладей показывает себя несколько лучше — примерно в 7 раз больше выигрышных позиций, чем пара Слонов, — но всё же далеко не дотягивает до «надёжной техники», которую предполагала аналогия с плоскими шахматами.
Две Ладьи действительно загоняют, теснят и ограничивают обороняющегося Короля по всей доске, и защитник, играющий небрежно, всё же может быть заматован. Однако наилучшая защита всегда оставляет открытым по меньшей мере один путь отступления из ортогонального загона Ладей — как правило, триагональный или граневый диагональный отлёт, который ни одна Ладья не может отслеживать без хода, и который белый Король не может покрыть с легальной поддерживающей дистанции.
Практическое следствие: две Ладьи без другого материала не могут форсировать пространственный мат против одинокого Короля в Raumschach. Техника, определяющая ладейные эндшпили на практике, поэтому состоит не в том, как реализовать К+Л+Л против одного К, а в том, как удержать достаточно другого материала — пешку, фигуру, инициативу, — чтобы использовать ошибки защитника или перейти к более решительному эндшпилю. Четырёхзвёздочный миттельшпильный рейтинг этой комбинации отражает её подлинную ценность в ограничении и координации; он не отражает гарантии мата в голом эндшпиле.
В плоских шахматах К+Л против К — тривиальный выигрыш: Ладья загоняет одинокого Короля в последовательно сужающиеся полосы вплоть до мата на краю. В Raumschach доска 5×5×5 со 125 полями и 26 направлениями отступления Короля поднимает естественный вопрос: является ли К+Л против К выигрышем или ничьей? Это ничья, и причина носит структурный характер, а не сводится к вопросу недостаточной техники.
Одинокий Король Raumschach во внутренней позиции владеет 26 соседними полями. Одна Ладья, даже с помощью белого Короля, с трудом покрывает все поля отступления одновременно. У одинокого Короля есть множество направлений отступления, которые ортогональное движение Ладьи не может покрыть самостоятельно: а именно, 8 триагональных направлений и 12 рёберно-диагональных направлений, которые белый Король поэтому должен покрывать без посторонней помощи.
У углового поля лишь 7 соседей, что делает его наилучшим случаем для оттеснения Короля защитника. Даже там геометрия побеждает попытку мата. Поле, покрывающее всех 7 соседей угла лишь смежностью с Королём, само должно находиться в диагонально противоположном углу локального куба 2×2×2 — единственной точке на расстоянии Чебышева 1 от каждого из соседей угла. Но эта точка также находится на расстоянии Чебышева 1 от самого углового поля, поскольку угол и дальняя точка его локального куба сами смежны. Нет способа расположить белого Короля достаточно близко, чтобы накрыть каждое поле отступления, не поставив его рядом с чёрным Королём — что нелегально в любой позиции, достижимой или нет. Та же преграда повторяется на каждом другом поле доски: нигде шах Ладьёй в сочетании с легальной поддержкой Короля не устраняет одновременно все 26 (или, на краю или в углу, меньше) полей отступления.
Король и Ладья против одинокого Короля — ничья при наилучшей защите для каждой легальной позиции на доске. Ни одно поле — угловое, краевое или внутреннее — не допускает конфигурации, в которой Ладья объявляет шах, а белый Король одновременно покрывает каждое из оставшихся полей отступления обороняющегося Короля, не поставив двух Королей рядом друг с другом, что запрещено правилами. Исчерпывающая проверка по каждой легальной расстановке Король/Король/Ладья подтверждает: нет ни одной позиции, в которой обороняющийся Король под шахом не имел бы легального ответа — матовой сети, которую должна была бы построить комбинация Ладья+Король, не существует нигде в пространстве позиций.
Практическое следствие: одна Ладья, независимо от активности поддерживающего Короля, не может форсировать пространственный мат против одинокого Короля в Raumschach. Ладья может загонять, теснить и ограничивать территорию обороняющегося Короля, и защитник, допустивший достаточно грубую ошибку, всё же может попасть в позицию с очень малым числом ответов — но никакая последовательность легальных ходов никогда не может привести к позиции с нулём ответов. Практическим игрокам не следует тратить силы на поиск форсированного выигрыша, которого не содержит геометрия; верная техническая цель с одним Королём и Ладьёй — искать тактические шансы (выигрыш дополнительного материала, провоцирование иной ошибки), а не гнаться за матом, который невозможно построить.
Два Единорога против одинокого Короля на первый взгляд выглядят как увлекательный эндшпиль, уникальный для Raumschach и не имеющий аналога в плоских шахматах: поскольку каждый Единорог ограничен своим 30-клеточным цветовым классом, два белых Единорога вместе покрывают 60 из 125 полей, на двух классах, которые взаимодополняющие — ни одно поле не достижимо обоими. Исчерпывающая проверка показывает, что это взаимодополняющее покрытие никогда не превращается в форсированный мат. В конечном счёте это ничья одиночного Единорога (раздел X) с добавленным вторым Единорогом.
Цветовой класс Единорога в Raumschach определяется чётностями всех трёх координат одновременно. Конкретно, поле в (уровень L, вертикаль f, ряд r) принадлежит классу чётности (L mod 2, f mod 2, r mod 2). Поскольку триагональный ход меняет все три координаты на ±1, он переворачивает все три чётности одновременно — так что Единорог чередуется ровно между двумя классами чётности на последовательных ходах. С их верных стартовых полей Bb1 и Be1 два белых Единорога начинают в разных классах чётности: Bb1 принадлежит классу (0,0,1) и чередуется с (1,1,0); Be1 принадлежит классу (0,1,1) и чередуется с (1,0,0). Эти четыре класса полностью не пересекаются, что как раз объясняет, почему два Единорога покрывают взаимодополняющую, неперекрывающуюся территорию — вместе 60 из 125 полей, по одной 30-клеточной области каждый. Эта часть исходного анализа верна и остаётся в силе.
Исчерпывающая проверка — по всему пространству состояний из 4 037 081 позиции, независимо подтверждённая прямым несведённым сканированием каждой легальной расстановки Король/Король/Единорог/Единорог — не находит ни одной позиции нигде на доске, в которой два Единорога и Король ставят пространственный мат. Пространство состояний не содержит терминального мата, терминального пата, ничего: каждая отдельная легальная позиция была и остаётся ничьей.
Ошибка в прежнем рассуждении была той же, что была исправлена для пары Слонов в разделе XII: тот факт, что классы двух Единорогов совместно покрывают все 125 полей, или покрывают «примерно по 13 из 26 соседей Короля каждый» в абстракции, ничего не говорит о том, может ли это покрытие когда-либо быть собрано в один момент, в одной позиции, легально. У пары Единорогов ещё меньше средств, чем было у пары Слонов: 60 достижимых полей в сумме, а не 125, 8 коротких лучей каждый, а не 12 более длинных, и Король с 26 направлениями отступления, которого нужно обыграть. Там, где пара Слонов могла хотя бы форсировать мат из узкой полосы уже загнанных в угол позиций, пара Единорогов не может сделать этого ни из одной позиции — совместная досягаемость попросту слишком разрежена, чтобы когда-либо одновременно закрыть каждое поле отступления загнанного в угол Короля без нелегальности или бреши.
Практическое следствие: Король и два Единорога без другого материала — ничья при наилучшей защите, и точка — не сложный выигрыш, требующий аккуратной техники, и не выигрыш с узким нетипичным исключением, каким оказалась пара Слонов. Игрок, полагающийся на эту комбинацию для реализации эндшпиля, не должен ожидать, что она сама по себе даст пространственный мат; понадобится третья фигура или пешки, чтобы добиться прогресса. Взаимодополняющая структура классов чётности остаётся подлинно изящным фактом о том, как два Единорога делят между собой доску, и это именно тот вид координации, который оценка миттельшпиля Raumcapa вознаграждает как позиционный актив (бонус двойной системы Единорогов, Том III), — но как самостоятельная матующая сила в голом эндшпиле она не работает.
Одиночный Единорог достигает лишь 30 из 125 полей доски — своего цветового класса. 95 полей вне его цветового класса для него навсегда недостижимы. Это фундаментальное ограничение означает, что обороняющийся одинокий Король всегда может оставаться на полях, недостижимых для Единорога, делая пространственный мат геометрически невозможным.
Король и один Единорог против одинокого Короля — ничья при наилучшей защите. Обороняющийся Король всегда может расположиться на поле вне цветового класса Единорога (одном из 95 полей, которые Единорог никогда не сможет атаковать). Одинокому Королю никогда не нужно входить в цветовой класс Единорога, если он ходит осторожно, — а поскольку Единорог не может ни атаковать его, ни контролировать его путь извне класса, пространственный мат невозможен.
Цветовой класс Единорога покрывает 30 полей; обороняющийся Король с 95 полями «безопасной» территории не может быть загнан в угол Единорогом, контролирующим лишь остальные 30 полей.
У этой теоремы есть практическое следствие: в любом эндшпиле, где у одной стороны есть только Король и один Единорог (без пешек), партия ничейна независимо от позиции, при условии что защитник знает, что нужно держаться вне цветового класса Единорога.
Одиночный Слон, как и одиночный Единорог, ограничен одним цветовым комплексом доски: 63 полями с чётным L+f+r, либо 62 с нечётным L+f+r, в зависимости от того, с какого поля он начинает. В отличие от Единорога, чьи 8 триагональных направлений достигают лишь 30 из 125 полей, 12 граневых диагональных направлений Слона достигают примерно половины доски — гораздо менее ограничивающий загон, но всё же загон.
Король и один Слон против одинокого Короля — ничья при наилучшей защите. Обороняющийся Король всегда может оставаться на поле вне цветового комплекса Слона — 62 или 63 полях (какие бы Слон ни занимал), которых Слон никогда не сможет достичь, по которым не сможет скользить или атаковать. Фигура, которая никогда не может атаковать поле Короля, не может в сочетании с одним лишь атакующим Королём форсировать пространственный мат.
Это более слабое убежище, чем у Единорога: примерно половина доски, а не три четверти. Тем не менее его достаточно. Задача обороняющегося Короля того же рода, что и против одинокого Единорога (раздел X) — держаться вне комплекса атакующего, — только легче просчитаться вблизи границы, поскольку запретная территория — половина доски, а не явное большинство её.
Практическое следствие то же, что и для одинокого Единорога: любой эндшпиль, где у одной стороны есть только Король и один Слон, без пешек, ничеен независимо от позиции, при условии что защитник знает, что нужно держаться вне цветового комплекса Слона.
В плоских шахматах К+С+С против К — хорошо известный, но технически требовательный выигрыш: два Слона на разных цветах покрывают все диагональные направления, и при поддержке Короля пространственный мат можно форсировать в любом углу. В Raumschach структура взаимодополняющего покрытия действительно переносится геометрически — но исчерпывающая проверка показывает, что третье измерение всё равно побеждает матующую технику, по иной и более основательной причине, чем та, что затрагивает аргумент цветового комплекса.
Оба белых Слона действительно начинают на противоположных чётностях — Ba1 (L+f+r=4, чётно) и Bd1 (L+f+r=7, нечётно) — и вместе достигают всех 125 полей, точно как светлопольный и темнопольный Слоны в плоских шахматах (Том I, монография III). И простое возражение «Слоны не могут покрывать триагонали, поэтому Король всегда убегает» не выдерживает критики в таком виде: триагональное поле назначения всё же имеет фиксированную чётность, и тот Слон, что разделяет эту чётность, может занять или атаковать его откуда-то ещё на доске.
Исчерпывающая проверка по всему пространству состояний из 3 785 608 позиций (сокращённому через 48-элементную группу симметрии доски) находит лишь 1972 позиции с ходом белых — из 1 660 585 — в которых белые могут форсировать пространственный мат; каждая другая позиция — ничья при наилучшей защите. Выигрышные позиции образуют узкую полосу, уже близкую к углу, с форсированным матом, завершающимся не более чем за 7 ходов из любой из них. Из типичной или центральной стартовой позиции два Слона не могут никуда оттеснить обороняющегося Короля: наилучшая защита держит ничью.
Статический аргумент цветового комплекса объясняет, почему ни одно поле не является постоянно безопасным от обоих Слонов, но он ничего не говорит о том, могут ли Слоны когда-либо вынудить Короля в позицию, где это покрытие имеет значение. Триагональный шаг Короля никогда не блокируется Слоном на середине полёта — верно, как гласит статическое возражение, — и на большей части из 125 полей доски этого, как оказывается, достаточно: у Короля попросту слишком много пространства и слишком много направлений, которые пара Слонов сама по себе не может опекать, чтобы его когда-либо принудили к углу против верной защиты. Горстка позиций, которые действительно выигрываются, — это в точности те, где Король уже пойман вблизи угла начальной конфигурацией, а не позиции, к которым Слоны пробились сами.
Практическое следствие полностью переворачивает интуицию плоских шахмат: пара Слонов без другого материала при наилучшей защите — не выигрышная комбинация в Raumschach. Игроку, у которого есть только Король и два Слона против одинокого Короля, следует ожидать ничьей, а не технического выигрыша, требующего терпения, — техника, на которую опирается пара Слонов в плоских шахматах, методично оттесняющая Короля к любому углу, не переносится в три измерения. 1972 позиции, где мат достижим, стоит знать как практическую курьёзность (противник, по ошибке загнавший Короля в одну из них, всё же может быть наказан), но они не составляют общего выигрышного метода.
Ладья и Единорог вместе покрывают все 14 семейств направлений, которые ни один из них не покрывает в одиночку: Ладья покрывает 6 ортогональных направлений, Единорог покрывает 8 триагональных направлений. Комбинация тем самым охватывает каждое направление на доске, кроме 12 граневых диагоналей. Геометрический аргумент в пользу достаточности таков: вместе они могут атаковать все 26 соседних полей одинокого Короля одновременно из близлежащих позиций, поскольку 26 соседей Короля распадаются на ортогональное, триагональное и рёберно-диагональное подмножества, а всё, что оставляют непокрытым две дальнобойные фигуры, может покрыть Король.
Исчерпывающая проверка решает вопрос окончательно: Король + Ладья + Единорог против одинокого Короля — теоретическая ничья. Не только нет форсированных выигрышей из типичных позиций — вообще нет позиций пространственного мата нигде в пространстве легальных позиций. Полный перебор угловых позиций, независимая проверка каждой расстановки с обороняющимся Королём в любом из восьми углов, подтверждает нулевое число матовых позиций. 12 граневых диагональных направлений, не покрытых ни Ладьёй, ни Единорогом, дают обороняющемуся Королю поля отступления, которые атакующий Король не может легально покрыть с несмежной позиции.
Исчерпывающая проверка по 7 874 975 каноническим позициям не находит ни одной позиции пространственного мата нигде в пространстве легальных позиций — даже узких уже-загнанных-в-угол исключений, присутствующих в К+Л+Л против К и К+С+С против К. Комбинация покрывает 14 из 26 семейств направлений, но неконтролируемые 12 граневых диагональных направлений достаточны, чтобы обороняющийся Король всегда сохранял по меньшей мере один путь отступления против легальной расстановки белого Короля. Это опровергает утверждение в более ранних версиях этой серии о том, что Ладья + Единорог форсирует пространственный мат и составляет важнейшую смешанную эндшпильную комбинацию.
Практическое следствие: Ладья + Единорог без другого материала не являются матующим оружием против одинокого Короля. Эти две фигуры обладают отличной ценностью координации в позициях миттельшпиля и эффективны для выигрыша материала против противника, у которого есть другие фигуры, — пара Ладья + Единорог для контроля территории остаётся наиболее эффективной двухфигурной атакующей комбинацией в миттельшпиле (theory1, §VIII). Это утверждение касается их совместного покрытия 14 направленных лучей в населённой позиции, что верно; несуществующей оказывается лишь их матующая сила в голом эндшпиле против одинокого Короля.
Ладья и Слон вместе покрывают все ортогональные и граневые диагональные направления (18 из 26), оставляя непокрытыми лишь 8 триагональных направлений. Исчерпывающая проверка находит 19 629 форсированных выигрышей из 3 390 118 позиций с ходом белых (0,58%), все в позициях, уже близких к углу, с не более чем 13 ходами белых до мата из самой удалённой. Это тот же структурный результат, что и К+Л+Л и К+С+С — узкая выигрышная зона, недостижимая из типичной позиции против наилучшей защиты, — но с триагоналями в роли устойчивых направлений отступления, а не граневыми диагоналями или ортогоналями. У обороняющегося Короля всегда есть по меньшей мере один триагональный сосед, которого не может достичь ни Ладья, ни Слон, и который белый Король не может легально покрыть.
Комбинация одного Слона и одного Единорога охватывает все неортогональные направления доски: Слон покрывает 12 граневых диагональных направлений, Единорог покрывает 8 триагональных направлений. Исчерпывающая проверка решает вопрос: Король + Слон + Единорог против одинокого Короля — полная теоретическая ничья. Нуль позиций пространственного мата существует среди 7 803 603 канонических позиций. 6 ортогональных направлений не покрыты ни одной фигурой, и обороняющийся Король всегда сохраняет по меньшей мере одно ортогональное поле отступления, которого не может достичь ни Слон, ни Единорог, и которое белый Король не может легально покрыть с несмежного поля.
Ферзь против Ладьи при обоих Королях на доске обычно выигрывается Ферзём в плоских шахматах, хотя в некоторых позициях возможна ничья. В Raumschach 26 направленных лучей Ферзя дают ему решающее превосходство над 6 лучами Ладьи, и этот эндшпиль выигран для Ферзя почти во всех позициях. Техника: использовать триагональные лучи Ферзя для атаки позиции Ладьи, удерживая противостоящего Короля на расстоянии.
Принцип плоских шахмат «поставить Ладью позади проходной пешки» применим напрямую и в Raumschach, но с трёхмерной интерпретацией. Белая проходная пешка, продвигающаяся вверх по столбцу c (поднимаясь уровень за уровнем на вертикали c), должна иметь белую Ладью «под собой» — на той же вертикали и том же ряду, но на более низком уровне, толкая её сзади. Белая Ладья на Ac3, поддерживающая пешку на Bc3, затем Cc3, затем Dc3, — это 3D-версия этой классической техники.
Аналогично обороняющаяся Ладья должна пытаться встать «перед» проходной пешкой — на той же вертикали и том же ряду, но на более высоком уровне, — чтобы заблокировать её. Чёрная Ладья на Ec3 блокирует белую пешку, поднимающуюся по столбцу c3, поскольку пешке в итоге придётся достичь Ec3, и Ладья её возьмёт либо вынудит пешку отклониться.
В плоских шахматах Ладья на 7-м ряду чрезвычайно сильна, поскольку атакует пешки противника и отрезает противостоящего Короля. В Raumschach эквивалент — Ладья на уровне D (на один ниже родной территории противника): белая Ладья на уровне D атакует чёрные пешки уровня D и отрезает чёрного Короля от отступления на уровень D с уровня E. Принцип «Ладьи седьмого уровня»: стараться как можно раньше продвинуть Ладью на уровень D или E в ладейных эндшпилях.
Гонка между Ладьёй, пытающейся остановить проходную пешку, и проходной пешкой, пытающейся превратиться прежде, чем Ладья её догонит, — самая распространённая и напряжённая эндшпильная ситуация в ладейных эндшпилях Raumschach. Ключевое наблюдение: Ладья всегда может достичь любого поля не более чем за 2 хода (переход на любую вертикаль за один ход, затем на любой ряд/уровень за второй). Так что если пешке нужно 3+ хода до превращения, Ладья всегда может её догнать — если только та не заблокирована или не пожертвована. Проходные пешки, которым до превращения нужен лишь 1 или 2 хода, действительно неостановимы одной Ладьёй, если владелец пешки контролирует промежуточные поля.
Единорог может сопровождать пешку до превращения по триагонали. Рассмотрим белую пешку на Bc2 и белого Единорога на Aa1. Триагональное направление Единорога (+1,+1,+1) ведёт его от Aa1 к Bb2, затем к Cc3, Dd4, Ee5 — главная триагональ. Однако если пешка поднимается по столбцу c2 (поднимаясь уровень за уровнем), поле превращения Ec2 не является полем превращения (превращение требует ряда 5). Это иллюстрирует важность выбора вертикали для пешки: пешка должна в итоге достичь и ряда 5, И уровня E.
Единорог в пешечном эндшпиле может исполнить сокрушительную вилку: одновременно угрожая превращению вражеской пешки (атакуя блокирующую её фигуру) и создавая собственную угрозу превращения в другом месте. Поскольку Единорог движется по триагоналям, его вилки действуют сразу по всем трём уровням, что делает их уникально трудными для распознавания и защиты.
Важнейшая стратегическая концепция в эндшпилях Единорог + пешка: убедиться, что поле превращения вашей пешки находится на том же цветовом классе, что и ваш Единорог. Если поле назначения превращения пешки находится на цветовом классе Единорога, Единорог может его контролировать, сопровождать пешку туда и даже защищать поле превращения с триагонали. Если поле превращения НЕ находится на цветовом классе Единорога, Единорог не может защитить пешку в момент превращения — существенная оборонительная слабость.
Принцип 1: Активный Король. Белый Король должен стремиться к возвышенности (уровень B или C) в пешечном эндшпиле, откуда он может одновременно сопровождать белые пешки к превращению и препятствовать чёрным пешкам достигать уровня A ряда 1. Король на уровне C одновременно распространяет влияние на пешки уровней B, C и D.
Принцип 2: Внешняя проходная пешка. В плоских шахматах внешняя проходная пешка вынуждает обороняющегося Короля бежать на фланг, позволяя атакующему Королю поедать оставшиеся пешки. В Raumschach измерение «внешности» трёхмерно: проходная пешка на вертикали a И на уровне C вдвойне внешняя — далека и от центра вертикали, и от центра уровня. Обороняющийся Король не может одновременно разбираться с угрозой на вертикали a уровня C и угрозами на вертикали e уровня B; ему приходится выбирать, и атакующий Король использует этот выбор.
Принцип 3: Реализация пешечного большинства. Пешечное большинство на одном уровне следует превратить в проходную пешку, продвигая большинство вперёд и поднимая одну пешку на следующий уровень. Пешечное большинство на уровне B (больше белых пешек, чем чёрных, там) следует продвинуть, чтобы создать проходную пешку, прежде чем переходить на уровень C.
Принцип 4: Не спешить с превращением. В отличие от плоских шахмат, где превращение почти всегда приоритетно, в Raumschach пешка, спешащая к превращению, может оставить позади ослабленную пешечную структуру на нижних уровнях, которую использует Король противника. Превращать следует, когда получившийся Ферзь немедленно решит партию.
Пешка Raumschach структурно отличается от своего аналога в плоских шахматах. Она продвигается к своему ряду превращения — единственному полю на уровне E, ряду 5 для каждой вертикали — через грани (два некапительных направления: продвижение по ряду или продвижение по уровню) или через рёбра (пять капительных направлений, сочетающих один шаг вперёд со сдвигом вертикали, либо сочетающих оба направления вперёд). Из центральной позиции, такой как Cc3, пешка может пойти на Cc4 (продвижение по ряду) или Dc3 (продвижение по уровню), и может взять на Cb4, Cd4, Db3, Dc4 или Dd3.
Эта геометрия создаёт путь превращения, двумерный в пространстве (уровень, ряд): обе координаты должны одновременно достичь максимума. В сложных позициях КПК метод соответствующих полей — продвинутая техника плоских шахмат — может показаться дающим ориентир. Исчерпывающая проверка пространства состояний КПК Raumschach решает вопрос напрямую: общий процент выигрышей высок, оставшиеся ничьи имеют чисто геометрическую характеризацию (раздел XVI), и таблица соответствующих полей не требуется.
В плоских шахматах Король и пешка против одинокого Короля — одна из самых поучительных тем эндшпильной теории: примерно половина всех позиций ничейна, ничейная техника требует понимания оппозиции, правила квадрата и ключевых полей. Исчерпывающая проверка пространства состояний КПК Raumschach (2 478 642 легальные позиции по всем уровням пешки и расстановкам фигур) даёт совершенно иную картину.
Исчерпывающий ретроградный анализ находит, что 88,4% позиций с ходом белых — форсированные выигрыши для белых, примерно вдвое больше показателя плоских шахмат (~55%). Оставшиеся 11,6% — ничьи, и их геометрия полностью характеризована: в каждой ничейной позиции КПК пешка находится на вертикали a или вертикали e. Пешки на вертикалях b, c или d выигрывают из 100% позиций. Пешки на вертикали a и вертикали e дают ничью из 28,8% позиций каждая.
Процент выигрышей по уровню пешки: уровень B (85,8%), уровень C (87,5%), уровень D (90,0%), уровень E (90,8%). Процент выигрышей по близости к превращению: пешка на уровне D ряду 5 или уровне E ряду 4 (один некапительный шаг до превращения) выигрывает в 98,0% случаев.
В отличие от плоских шахмат, где превращение идёт вдоль одной вертикали, двумерный путь превращения Raumschach порождает диагональную структуру в пространстве (уровень, ряд). Процент выигрышей растёт по мере того, как пара (уровень, ряд) пешки приближается к (E, 5): симметрично относительно диагонали уровень=ряд, поскольку продвижение любой координаты к максимуму равноценно. Эта симметрия — прямое следствие того, что у пешки два равновесных некапительных направления.
26-направленная подвижность белого Короля делает поддержание блокады обороняющимся чёрным Королём гораздо труднее в 3D. У пешки также больше атакующей досягаемости (5 капительных направлений против 2 в плоских шахматах), что затрудняет сопровождение пешки без риска быть взятым. Вместе эти факторы примерно удваивают процент выигрышей относительно 2D-игры.
Ничьи полностью сосредоточены на вертикалях a и e, где путь превращения пешки идёт вдоль крайнего края доски. Вертикаль не может сдвинуться влево (от вертикали a) или вправо (от вертикали e) без взятия, и обороняющийся Король может использовать край доски для поддержания устойчивой блокады легче, чем во внутренней части доски. Это 3D-аналог ничьей на вертикали a/h в стандартном КПК: структурно схожий аргумент загона применяется, когда передний коридор пешки идёт вдоль края доски.
Практические правила для КПК Raumschach: если пешка на вертикали b, c или d, белые выигрывают безусловно — техника не требуется. Если пешка на вертикали a или e, проверить, может ли чёрный Король поддерживать блокаду вдоль коридора превращения; при наилучшей игре 28,8% таких позиций ничейны.
Инструментарий плоских шахмат для КПК — правило квадрата, оппозиция, ключевые поля, соответствующие поля — не имеет прямых аналогов в Raumschach. Процент выигрышей достаточно высок в большинстве позиций, чтобы техника не требовалась вовсе; позиция выиграна почти отовсюду на внутренних вертикалях. Традиционное вычисление «соответствующих полей» (которое исследовательская повестка ранее числила открытым вопросом) отвечено этим результатом: такая таблица не нужна, поскольку вопрос сводится к «пешка на краевой вертикали?».
В плоских шахматах цугцванг возникает, поскольку возможности движения Короля ограничены: из центральной позиции у него 8 полей, куда пойти, и в некоторых позициях КПК все 8 невыгодны. В Raumschach у Короля 26 полей из центральной позиции и 7 из угла. Поставить Короля Raumschach в настоящий цугцванг требует гораздо большей точности и почти всегда требует, чтобы Король находился вблизи края доски.
Фундаментальная причина — триангуляция. В плоских шахматах триангуляция означает перемещение Короля тремя шагами к тому же полю с передачей очереди хода противнику — манёвр, часто невозможный, поскольку у Короля слишком мало доступных маршрутов. В Raumschach с 26 направлениями любой Король во внутренней позиции почти всегда может триангулировать: пойти на любое соседнее поле и вернуться, потратив два хода на то, чтобы «передать очередь». Это означает, что внутренние позиции почти никогда не допускают цугцванг: сторона, которой предстоит ходить, всегда может нейтрализовать обязанность хода, потратив темп впустую. Настоящий цугцванг в пешечных эндшпилях Raumschach поэтому — явление краёв доски, где подвижность Короля падает настолько, что определённые маршруты триангуляции становятся недоступны.
Ретроградный анализ КПК (раздел XVI) даёт первую исчерпывающую характеризацию пешечно-эндшпильного цугцванга в Raumschach. Из 1 223 118 допустимых позиций Король+Пешка против Короля 126 614 являются позициями цугцванга в строгом смысле: позиция ничейна при ходе белых, но форсированно выиграна для белых, когда ход чёрных (обязанность хода у чёрных стоит решающего темпа).
Каждая из 126 614 позиций цугцванга чёрных в КПК имеет белую пешку на вертикали a или вертикали e. Пешки на вертикалях b, c или d не порождают позиций цугцванга вовсе. Краевая вертикаль не просто коррелирует с цугцвангом — это необходимое условие. Этот результат следует непосредственно из 100%-ного показателя выигрышей для пешек внутренних вертикалей: поскольку каждая позиция с внутренней вертикалью — форсированный выигрыш для белых независимо от того, чей ход, ни одна такая позиция не может быть цугцвангом (цугцванг требует, чтобы позиция была НИЧЕЙНОЙ при ходе одной стороны и ВЫИГРАННОЙ при ходе другой).
В КПК нет позиций цугцванга белых (позиций, где белые предпочли бы, чтобы ход был у чёрных). Комбинация Короля и пешки белых никогда не оказывается в невыгодном положении, имея очередь хода: возможность продвинуть пешку или улучшить позицию Короля — всегда актив.
Геометрическая причина: пешка на вертикали a или e должна превращаться через столбец, идущий вдоль края доски. Обороняющийся Король, правильно расположенный, может удерживать блокаду этого узкого коридора без вариантов триангуляции, доступных во внутренней части доски. Пешка на вертикали b, c или d превращается через путь с достаточным боковым простором, чтобы 26-направленная подвижность белого Короля подавила любую блокаду — маршруты триангуляции всегда существуют, и обороняющийся Король неизбежно вытесняется.
Угловой цугцванг. Король в углу (7 соседних полей) наиболее уязвим. Когда все 7 неблагоприятны, Король в цугцванге. Это основа большинства эндшпильных матовых паттернов с фигурами.
Краевой цугцванг. У Короля на грани доски меньше 26 полей; триангуляция становится затруднительной. Пешечно-эндшпильный цугцванг возникает здесь, конкретно там, где коридор превращения пешки идёт вдоль края, ограничивая пространство манёвра обоих Королей.
Пешечно-диагональная оппозиция. Важнейший пешечно-эндшпильный цугцванг в Raumschach возникает в диагональном пространстве (уровень, ряд). Поскольку белая пешка продвигается одновременно к более высокому уровню И более высокому ряду (некапительные ходы — это «продвижение по ряду» или «продвижение по уровню»), критические поля вблизи зоны превращения диагональны в плоскости (L, r). Чёрный Король должен расположиться так, чтобы контролировать этот диагональный путь, избегая при этом цугцванга.
Когда у обеих сторон есть пешка, цугцванг возникает в гораздо более широком диапазоне позиций — включая некоторые с пешками на внутренних вертикалях. Систематический анализ «замороженных пешек» (анализ оппозиции Королей для каждой фиксированной пары пешек) выявляет следующую структуру:
Богатство цугцванга резко возрастает, когда две пешки находятся на противоположных краевых вертикалях: конфигурации с белой пешкой на вертикали e и чёрной пешкой на вертикали a (или наоборот) порождают на 50–80% больше позиций цугцванга, чем однотипные по вертикали конфигурации. Причина: оба Короля одновременно находятся под краево-вертикальными ограничениями, и пространство между двумя путями превращения достаточно узко, чтобы никакая триангуляция не избегала критической обязанности хода.
КПКП на внутренних вертикалях всё же порождает некоторый цугцванг (в отличие от случая с одной пешкой), поскольку при двух пешках на доске каждый Король должен одновременно поддерживать продвижение собственной пешки и оспаривать продвижение противника — подлинную дилемму на два фронта, способную поймать Короля даже во внутренней части доски. Однако число позиций цугцванга для центрально-вертикального КПКП существенно меньше, чем для краево-вертикальных конфигураций, что согласуется с общим принципом: подвижность Короля во внутренней части доски снижает возможности цугцванга.
Под заголовком «цугцванг» скрываются две различные вещи: распознавание того, что позиция является цугцвангом, и инженерное конструирование его через триангуляцию. Распознавание — есть ли у стороны, которой предстоит ходить, уже ни одного хода, не ухудшающего её позицию? — это сравнение статических оценок. Конструирование — выбор маршрута, передающего обязанность хода противнику, — требует рассуждения о последовательности будущих позиций.
Во внутренних позициях Raumschach триангуляция доступна почти тривиально: у Короля 26 направлений, и переход на любое соседнее поле с последующим возвратом тратит ровно один темп. Конструирование цугцванга поэтому требует одного из следующих структурных условий: (a) Король находится вблизи края доски, где определённые маршруты триангуляции отрезаны; (b) у Короля есть особое ограничение чётности из-за его отношения к покрытию пешки; или (c) пешечная блокада создаёт дилемму на два фронта (как в КПКП), ограничивающую эффективную трату темпов.
Собственная архитектура Raumcapa делает это различие конкретным. Движок несёт прокси-показатель ограничения подвижности, активный только в эндшпиле (оба Ферзя удалены с доски, у противника не более одной лёгкой фигуры): противник с очень малым числом легальных ответов оценивается как более вероятно обязанный ходить. Это явно коррелят обязанности хода, а не её сертификат — собственная документация движка отмечает, что он иногда будет вознаграждать стеснённого противника, у которого на деле есть вполне хороший ход, — а сама триангуляция, активное конструирование цугцванга, намеренно не предпринимается. Распознавание стеснённой позиции — работа на один полуход; конструирование её — последовательность таких полуходов, а движок, оценивающий лишь позицию перед собой, никогда не собирался делать второе.
Правило 1: внутренние вертикали, одна пешка. Если ваша проходная пешка на вертикали b, c или d, цугцванг не имеет значения — вы выигрываете безусловно независимо от очереди хода. Не тратьте время на вычисление оппозиции; просто продвигайтесь.
Правило 2: краевые вертикали, одна пешка. На вертикали a или e цугцванг возможен. Цель чёрного Короля — достичь и удерживать поле блокады непосредственно перед пешкой одновременно и по уровню, и по ряду. Цель белого Короля — оттеснить чёрного Короля от этого поля, а затем провести пешку с поддержкой.
Правило 3: эндшпили с двумя пешками. С пешками с обеих сторон цугцванг возникает даже на внутренних вертикалях. Король не должен ходить пассивно, пока живы обе пешки: каждый темп, потраченный впустую на бездейственное движение Короля, может позволить противнику установить позицию цугцванга на критических полях между двумя путями превращения. Конфигурации пешек на противоположных краевых вертикалях (одна пешка на вертикали a, другая на вертикали e) — наиболее чувствительные к цугцвангу позиции во всей пешечной теории Raumschach.
Правило 4: вблизи превращения. По мере приближения пешки к зоне превращения (уровень D или уровень E, ряд 4 или ряд 5) число позиций, способных на цугцванг, резко растёт. Пешка на уровне D ряду 5, или уровне E ряду 4 (один некапительный шаг до превращения) выигрывает в 98% случаев; многие из оставшихся 2% ничейных позиций — как раз позиции цугцванга, где чёрному Королю удалось удержать блокаду через критическую диагональ превращения.
Чтобы Король был запатован в Raumschach, все его соседние поля (до 26) должны быть либо заняты собственными фигурами, либо атакованы фигурами противника — при этом сам Король не должен быть под шахом. На практике атакующей стороне требуется огромная армия фигур, чтобы одновременно контролировать 26 полей, не объявив при этом шах Королю ни одной из них. Это настолько требовательно, что в большинстве позиций, если атакующий достаточно силён, чтобы контролировать 26 полей, он может попросту вместо этого поставить пространственный мат.
Наиболее реалистичные патовые сценарии в Raumschach включают одинокого Короля в угловой позиции (нужно заблокировать лишь 7 соседних полей), где атакующий делает небрежный ход. На практике одиночный Ферзь не может атаковать все 7 соседних полей углового Короля одновременно, не атакуя самого Короля, — нужно несколько фигур, что создаёт подлинный, хотя всё же редкий, риск пата.
Для атакующей стороны: следить за патом только в угловых позициях, где у одинокого Короля 7 или менее соседних полей. Перед каждым ходом проверять, что у одинокого Короля остаётся хотя бы один легальный ход. Для обороняющейся стороны: пата иногда можно искать в отчаянных позициях с угловым Королём, но он почти никогда не достижим без активной небрежности атакующего. Не полагайтесь на пат как на оборонительную стратегию; он почти никогда не осуществится.
Эта работа установила первую систематическую теорию эндшпиля для Raumschach по девятнадцати разделам: геометрия превращения пешки, 3D-оппозиция, Куб превращения, теория эндшпиля Короля и пешки, достаточность материала для пространственного мата, элементарные эндшпильные техники для комбинаций К+Ф, К+ЛЛ, К+Л, К+ЕЕ, К+Е, К+С и К+СС, а также ничейный статус К+ЛЛ и К+ЛЕ, смешанные эндшпили, ладейные эндшпили с пешками, эндшпили Единорога, чисто пешечные эндшпили с полным анализом КПК, цугцванг в трёх измерениях с теорией нескольких пешек, и редкость пата.
Пять результатов выделяются как наиболее значимые вклады этой работы:
Первый: переворот двух Слонов. Вопреки интуиции плоских шахмат, согласно которой пара Слонов форсирует мат, Король и два Слона против одинокого Короля — ничья почти из любой позиции в Raumschach. Исчерпывающая проверка находит лишь 1972 позиции с ходом белых из 1 660 585, в которых Слоны могут форсировать пространственный мат, — все они уже близки к углу, ни одна не достижима оттеснением Короля туда из типичной стартовой позиции. Два Слона действительно совместно покрывают все 125 полей, точно как пара Слонов в плоских шахматах, но покрытие каждого поля — не то же самое, что способность принудить Короля к любому конкретному из них; неперекрываемый триагональный шаг Короля, как оказывается, даёт ему достаточно пространства на большей части доски, чтобы наилучшая защита удержала ничью.
Второй: ничья двух Единорогов. Вопреки исходному анализу, Король и два Единорога против одинокого Короля — теоретическая ничья, а не выигрыш, — исчерпывающе проверено, ни одной позиции пространственного мата или пата не найдено нигде на доске. Два Единорога действительно покрывают взаимодополняющие, неперекрывающиеся 30-клеточные цветовые классы, точно как утверждалось, но совместное покрытие 60 полей в абстракции никогда не превращается в способность одновременно закрыть все поля отступления загнанного в угол Короля в один легальный момент. Двойная система Единорогов остаётся, как установил том теории миттельшпиля, подлинным позиционным активом — она просто не является, сама по себе, матующим оружием.
Третий: ничья одиночного Единорога. Одиночный Единорог не может форсировать пространственный мат — его 30-клеточный цветовой класс покрывает лишь 24% доски, оставляя 76% постоянным безопасным убежищем для обороняющегося Короля. Это эквивалент ничьей одиночного Слона в Raumschach и столь же фундаментален.
Четвёртый: структурная недостаточность Ладьи. Король и Ладья против одинокого Короля — теоретическая ничья, решённая исчерпывающей проверкой по каждой легальной расстановке Король/Король/Ладья на доске. Интуитивная конструкция углового мата — белый Король диагонально смежен с загнанным в угол защитником, Ладья объявляет шах вдоль оставшейся вертикали — не срабатывает по точной геометрической причине: единственное поле, достаточно близкое, чтобы покрыть всех остальных соседей угла, само смежно с углом, а это значит, что двум Королям пришлось бы нелегально встать рядом друг с другом. Ни одно поле на доске не избегает этой преграды. Ладья может загонять и теснить одинокого Короля в Raumschach, но не может его заматовать.
Пятый: превращение требует минимум шести ходов. Путь превращения в Raumschach значительно длиннее, чем в плоских шахматах, требуя минимум шести ходов (с уровня B, ряда 2, или эквивалентно уровня A, ряда 3) и до семи (с уровня A, ряда 2 — более длинной из двух реальных стартовых конфигураций, установленных в разделе II). Проходные пешки поэтому ценнее относительно фигур, чем в плоских шахматах, — им требуется больше ходов для реализации, а значит, они дольше монополизируют внимание противника.
Исследовательская повестка, которую эта работа оставляет открытой, узка. Вопрос КПК разрешён (раздел XVI): 88,4% позиций с ходом белых — форсированные выигрыши, 11,6% ничейных позиций полностью характеризованы геометрическим правилом (пешка на вертикали a или e), и таблица соответствующих полей не требуется. Теория цугцванга с несколькими пешками (раздел XVII) теперь установлена: цугцванг в КПК ограничен краевыми вертикалями, цугцванг в КПКП возникает при всех комбинациях вертикалей, причём конфигурации на противоположных краевых вертикалях наиболее богаты им, и даны четыре практических правила. Исследовательская повестка этой работы завершена.
С публикацией этого пятого тома у Raumschach теперь впервые за 119-летнюю историю есть полная теоретическая литература, охватывающая дебютную, миттельшпильную и эндшпильную фазы игры. Фердинанд Маак задумывал шахматы, соответствующие трём измерениям реального противостояния. Разрабатывая эту теорию, мы попытались воздать должное красоте и глубине того, что он создал. Пусть это станет началом долгой традиции науки о Raumschach.